母平均の信頼区間を出したり、t検定を行ったりする時に登場するt分布の紹介です。
今回も主に東京大学出版会の統計学入門を参考に書きますが、
なぜ過去の本にはt分布の確率密度関数の具体的な式が登場しないので、そこだけは別の本を参照しました。
(シリーズの緑色の本、青色の本にも登場してないように見えます。数表があれば十分という判断かな？)
たとえば、マセマのキャンパスゼミシリーズの統計学にベータ関数を用いた表記が登場します。
Wikipediaなどにあるのはガンマ関数を使った表記ですが同じ式です。
定義
二つの確率変数$Y$と$Z$が次の条件を満たすものとします。
(a) $Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従う。
(b) $Y$は自由度$k$の$\chi^2$分布$\chi^2(k)$に従う。
(c) $Z$と$Y$は独立である。
今、確率変数$t$を
$$
t = \frac{Z}{\sqrt{Y/k}}
$$
と定義すると、$t$が従う確率分布を自由度$k$の$t$分布(もしくはスチューデントの$t$分布)と言います。
これを$t(k)$と表します。
自由度$k$が大きくなり、特に$30$以上くらいになると、ほぼ正規分布と変わらない分布になり、$k$が$\infty$になると一致します。
自由度$k$の$t$分布の確率密度関数$f(t)$は次のようになります。
$$
f(t) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\Gamma(\frac{k}{2})}\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{-(\frac{k+1}{2})}
$$
ベータ関数$B(x,y)$を使うと次のようにも書けます。
$$
f(t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}B(\frac{k}{2},\frac{1}{2})}\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{-(\frac{k+1}{2})}
$$