最近よく使っている、scipyの最適化関数の一つであるminimizeについて、まだ記事を書いてなかったので紹介します。
公式ドキュメントはこちらです。
参考: minimize — SciPy v1.14.1 Manual
これはタイトルの通りで、数値を返す関数を渡すとその関数が最小値をとる引数を探してくれるものです。ちなみに、最大値になる引数を探すメソッドはないので最大値を探したかったら、その関数に-1をかけて符号を反転させた関数を用意してください。
サクッと一つやってみましょう。正解がわかりやすいよう、2次関数でも例にとりましょうか。次の関数を使います。
$$x^2-6x+5 = (x-3)^2 -4 $$
平方完成から分かる通り、$x=3$で最小ですね。
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# 目的関数の定義
def sample_function(x):
return x**2 - 6*x + 5
# 初期値
x0 = 0
# 最適化の実行
result = minimize(sample_function, x0, method='L-BFGS-B')
# 結果の表示
print("最適化の結果:", result)
print("最小値をとる点 x:", result.x)
print("最小値 f(x):", result.fun)
"""
最適化の結果: message: CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL
success: True
status: 0
fun: -3.9999999999999982
x: [ 3.000e+00]
nit: 2
jac: [ 1.776e-07]
nfev: 6
njev: 3
hess_inv: <1x1 LbfgsInvHessProduct with dtype=float64>
最小値をとる点 x: [3.00000004]
最小値 f(x): -3.9999999999999982
"""
上のサンプルコードのように、最初の引数で最適化したい関数、2個目の引数で初期値、そしてオプションで利用するアルゴリズムなどの各種設定を行います。
ここで注意しないといけないのは、渡した関数の第1引数だけが最適化の対象ということです。なので、元の関数が複数の引数をとる多変数関数の場合、最適化したい引数等を一個の配列にまとめて渡す関数でラップしてあげる必要があります。また、最適化対象外の値を固定する引数については、argsで固定します。
例えば、$f(x, y, a, b) = x^2 + ax + y^2 + by$ みたいな関数があって、a, bは固定したとき、これを最小にする $x, y$を求めたい場合次のようにします。
# 元の関数（オリジナルの目的関数）
def original_function(x, y, a, b):
return x**2 + a*x + y**2 + b*y
# 最適化用にラップする関数
# 元の関数のx, y を xという配列で渡してx[0], x[1]として内部で使っている
def optimization_target_function(x, *params):
return original_function(x[0], x[1], *params)
# 最適化の実行
x0 = [0, 0]
result = minimize(optimization_target_function, x0, args=(4, -6), method='L-BFGS-B')
# 結果の表示
print("最適化の結果:", result)
print("最小値をとる点 x:", result.x[0])
print("最小値をとる点 y:", result.x[1])
print("最小値 f(x, y):", result.fun)
"""
最適化の結果: message: CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL
success: True
status: 0
fun: -12.999999999999925
x: [-2.000e+00 3.000e+00]
nit: 2
jac: [-1.776e-07 -7.105e-07]
nfev: 9
njev: 3
hess_inv: <2x2 LbfgsInvHessProduct with dtype=float64>
最小値をとる点 x: -2.0000000804663682
最小値をとる点 y: 2.9999997404723753
最小値 f(x, y): -12.999999999999925
"""
最適化したい引数が何変数なのか？ってのを一見どこでも指定してないように見えて不安になるのですが、これは初期値の配列の要素数から自動的に判断してくれています。
結果は result.x に入っているのでここから自分で取得します。
本当に基本的な使い方は以上になります。
少し発展的な内容なのですが、最適化のアルゴリズムは何種類もある中から選べますが、中には導関数を利用するものもあります。このminimizeに導関数を渡さない場合は、数値微分でいい感じにやってくれるのですが、明示的に導関数を指定することも可能です。
やり方は簡単で、元の関数と同じ形で引数を受け取るように導関数を定義して、jac引数に渡すだけです。1変数の場合は簡単すぎるので2変数の例を出しますが、2変数の場合は第1引数による微分と第2引数による微分の2つがあるので、その結果を配列で返す関数を定義してそれを渡します。
例えば、$f(x,y)=x^2+y^2+4x+6y+13$ みたいなのを考えてみましょう。$x, y$での微分はそれぞれ、$2x+4$, $2y+6$ですね。
# 目的関数
def objective_function(vars):
"""
2変数関数 f(x, y) = x^2 + y^2 + 4x + 6y + 13
vars: [x, y]
"""
x, y = vars
return x**2 + y**2 + 4*x + 6*y + 13
# 勾配（偏微分値）
def gradient_function(vars):
"""
勾配 ∇f(x, y) = [∂f/∂x, ∂f/∂y]
vars: [x, y]
"""
x, y = vars
grad_x = 2 * x + 4
grad_y = 2 * y + 6
return np.array([grad_x, grad_y]) # 勾配ベクトルを返す
# 初期値
x0 = [0, 0]
# 最適化の実行 (勾配を指定)
result = minimize(objective_function, x0, jac=gradient_function, method='L-BFGS-B')
# 結果の表示
print("最適化の結果:", result)
print("最小値をとる点 [x, y]:", result.x)
print("最小値 f(x, y):", result.fun)
"""
最適化の結果: message: CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL
success: True
status: 0
fun: 0.0
x: [-2.000e+00 -3.000e+00]
nit: 2
jac: [ 0.000e+00 0.000e+00]
nfev: 3
njev: 3
hess_inv: <2x2 LbfgsInvHessProduct with dtype=float64>
最小値をとる点 [x, y]: [-2. -3.]
最小値 f(x, y): 0.0
"""
関数が簡単で計算量も小さい場合は数値微分でも特に問題ないのですが、そうでない場合は明示的に導関数を渡すことでリソースを節約することもできます。
長くなってきたので今回の記事はここまでにしようと思います。境界条件とうの制約をつける方法とかを今後紹介したいですね。
最後にminimizeを使う時の注意点ですが、これ、極小値が複数あるような関数の場合、最小値ではなく極小値の一つを返してくることがあります。結果が初期値に依存してしまうのです。複雑な形の関数を最適化する場合は注意してください。
