カイ二乗分布

このブログでもカバン検定の説明の中などで登場しており、
昨日のt分布の紹介の中でも使われているので、明らかに順番がおかしくなってしまっていますが、
カイ二乗分布について紹介してなかったので紹介しておこうと思います。

統計学入門(赤本)ではt分布同様定義は紹介されますが確率密度関数の式は登場しないようです。
不思議ですね。

定義

$Z_1,Z_2,\dots ,Z_k$を独立な標準正規分布$N(0,1)$に従う確率変数とします。
ここで、
$${\chi }^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_k^2$$
とすると、確率変数${\chi }^2$が従う確率分布を自由度$k$の${\chi }^2$分布と呼びます。
そしてそれを${\chi }^2(k)$と書きます。

自由度$k$の${\chi }^2$分布の確率密度関数$f_k(x)$は、$x\ge 0$に対して、次のように書けます。
$$f_k(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2})}{x}^{\frac{k}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}$$
また$x<0$に対しては、$f_k(x)=0$です。