最近とあるデータのモデリングのために対数正規分布を使うことがありました。
そのとき使ったScipyのlognormには少し癖があったのでそれを紹介しようと思ったのですが、その前に対数正規分布そのものについて紹介させてもらいます。
対数正規分布とは一言で言ってしまうと、「それに従う確率変数の対数を取ったら正規分布に従うような確率分布」です。
正規分布の対数ではなく、対数を取ったら正規分布なので、注意が必要です。
もう少し正確に書きます。
確率変数$Y$が、正規分布$N(\mu, \sigma^2)$に従うとします。
このとき、$X=e^{Y}$は対数正規分布に従います。
定義に従って確率密度関数$f(x)$を導出しておきましょう。
まず、正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の確率密度間数$g(y)$は、
$$
g(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
です。
あとは$y=\log{x}$と$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$ に気をつけて、次のように計算できます。
$$
\begin{align}
f(x) &= g(y)\frac{dy}{dx}\\
&=g(\log{x})\frac{1}{x}\\
\therefore f(x) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}\exp\left(-\frac{(\log{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).
\end{align}
$$
ここで、$x$の値域は、 $0 <x < \infty$ です。
$\mu$ と $\sigma$ はパラメーターになります。
この導出の過程から明らかですが、それぞれ、対数正規分布に従う確率変数の「対数の」期待値と標準偏差です。
この二つがそのまま対数正規分布の期待値や標準偏差になるわけではないので気をつける必要があります。
対数ではない、確率変数$X$自体の期待値と分散は次の値になります。
参考: 対数正規分布 – Wikipedia
$$
\begin{align}
E[X] &= e^{\mu+\sigma^2/2}\\
V[X] &= e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)
\end{align}
$$