確率密度関数が$f(x)$の同一の確率分布に従う$n$個の確率変数$X_1, \dots, X_n$について、これらの最大値が従う分布を考える機会がありました。
初めは少々苦戦したのですが、綺麗に定式化できたので記録として残しておこうと思います。
元々は最大値が従う確率密度関数を直接求めようとしてちまちまと場合分けなど考えていたのですが、
確率密度関数ではなく、累積分布関数を先に求めて、それを微分して確率密度関数を得るようにするとスムーズに算出できました。
最初に記号を導入しておきます。
まず、$X_i$たちが従う確率分布の分布関数を$F(x)$とします。
そして、$Y=\max(X_1, \dots, X_n)$が従う確率分布の確率密度関数を$g(y)$,累積分布関数を$G(y)$とします。
最終的に知りたいのは$g(y)$なのですが、まず$G(y)$の方を算出していきます。
$$
\begin{align}
G(y) &= \text{Yがy以下になる確率}\\
&= X_1, \cdots, X_n \text{が全てy以下になる確率}\\
&= (X_1\text{がy以下になる確率}) \times \cdots \times (X_n\text{がy以下になる確率})\\
&= F(y)^n
\end{align}
$$
こうして、最大値$Y$の累積分布関数が$F(y)^n$であることがわかりました。
確率密度関数は累積分布関数を1回微分することで得られるので次のようになります。
$$
\begin{align}
g(y) &= \frac{d}{dy}G(y)\\
&= \frac{d}{dy}F(y)^n\\
\therefore g(y) &= nF(y)^{n-1}f(y)
\end{align}
$$
ついでに、最小値$Z=\min(X_1, \dots, X_n)$が従う分布の確率密度関数$h(z)$と累積分布関数$H(z)$についても同様に算出できるのでやっておきます。
最大値の場合と同じように$H(z)$の方を求めます。
$$
\begin{align}
H(z) &= \text{Zがz以下になる確率}\\
&= 1-(\text{Zがz以上になる確率})\\
&= 1-(X_1, \cdots, X_n \text{が全てz以上になる確率})\\
&= 1-(X_1\text{がz以上になる確率}) \times \cdots \times (X_n\text{z以上になる確率})\\
&= 1-(1-(X_1\text{がz以下になる確率})) \times \cdots \times (1-(X_n\text{z以下になる確率}))\\
&= 1-(1-F(z))^n
\end{align}
$$
これで、最小値が従う分布の累積分布関数が求まりました。あとはこれを微分して、確率密度関数にします。
$$
\begin{align}
h(z) &= \frac{d}{dz}H(z)\\
&= -n(1-F(z))^{n-1}(-F'(z))\\
\therefore h(z) &= n\{1-F(z)\}^{n-1}f(z)
\end{align}
$$
最大値より若干複雑に見えますが、これで最小値が従う分布も得られました。