実は地味に使うことがある二項分布の母比率の区間推定の式を紹介します。
今回もテキストは統計学入門(赤本)。
途中、近似計算が多く、細かく説明すると手間なので、詳細はテキストの方で追っていただくとして、
ここでは方針と結果だけ紹介しましょう。
前提として二項分布$B(n,p)$は、$n$が大きくなると直接計算するのが難しくなります。
(二項係数がどんどん大きくなるからです)
そのため、方針としては$n$が大きくなると、二項分布が正規分布で近似できることを使います。
まず、母集団分布が母数pのベルヌーイ分布($n=1$の二項分布) $B(1,p)$の時、
母数$p$は$\hat p = \bar X$で推定します。
この時、$\sum X_i$は$B(n,p)$に従います。
これに対して、$\hat p = \bar X = \sum X_i/n$で推定されます。
そして、信頼水準$1-\alpha$の$p$の信頼区間は近似的に次の式で求めることができます。
$$
\left[\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}, \hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\right].
$$
ここで、$Z_\alpha$は、標準正規分布の$\alpha$パーセント点です。