今回は母分散の信頼区間の求め方を紹介します。
母集団の分布は正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$とし、標本を$X = (X_1, X_2, \dots, X_n)$とします。
$\alpha$などの記号の意味も母平均の信頼区間の記事と同じです。
標本分散を$s^2 = \sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar X)^2}{n-1}$とすると、
$(n-1)s^2/\sigma^2$は、自由度$n-1$の$\chi^2$分布、$\chi^2(n-1)$に従います。
そのため、$\chi^2(n-1)$のパーセント点$\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)$と、$\chi_{\alpha/2}^2(n-1)$を使って、次式のように書けます。
$$
P(\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1) \leq (n-1)s^2/\sigma^2 \leq \chi_{\alpha/2}^2(n-1)) = 1 – \alpha.
$$
括弧の中を整理すると次のようになります。(分子と分母を逆転させる必要がありますが、３つの値が全部正なので簡単です。)
$$
P(\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}) = 1 – \alpha.
$$
よって母分散の信頼区間は次のように求まります。
$$
[\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)} , \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)}].
$$
普段の業務だと母平均に比べて、母分散の信頼区間を求めようと思うことが少ない、(というかほぼ無い)ので、
この式に馴染みがなく、ちょっと違和感を感じます。
nが大きくなるとこの区間は狭まっていくのでしょうか。
信頼区間なので、この区間中に標本分散$s^2$が含まれてるはずなのですが、
自分にはまだその感覚も身についてません。
普段のクロス表の検定で使わないような、自由度のでかいカイ2乗分布のパーセント点を意識して無いですからね。