なんとなく統計検定2級の過去問を眺めていたら、変動係数というキーワードが登場してきました。
語感や説明なく使われている様子から基礎的な用語な感じがしたのですが聞いた覚えがありません。
それで、東大の統計学入門(赤本)にも載ってないんじゃないかと思って調べたのですが、バッチリ載っていました。
自分が覚えていなかっただけのようです。(38ページに登場します。)
良い機会なのでここで定義を紹介しようと思います。
変動係数(Coefficient of Variation)とは、標準偏差を期待値で割ったものです。
本に載っている用途をそのまま紹介しますが、
これは二つの分布の中心(期待値)の大きさが著しく異なり、標準偏差を使って散らばり具合を比較できない場合などに使います。
たとえば、県の1人当たり県民所得の平均と標準偏差が次の値だったとします。
1965年は平均26.6万円、標準偏差は7.5万円で、
1975年は平均117.5万円、標準偏差は23.8万円。
これで、標準偏差が約3倍になっているから地域間の格差が広がっているか？という問いを考えると、
平均も約4.5倍になっているのでそう単純に比較できない、という場合に変動係数で比較するという方法が使えます。
1965年の変動係数は$7.5/26.6 = 0.28$で、1975年のそれは$23.8/117.5 = 0.2$なので、相対的な地域間所得格差は小さくなっていると判断できます。
以上のように紹介してみましたが、結構用途が限られる指標だとも感じました。
確率変数$X$に定数$a$を足した分布を考えると値が変わってしまいますし、
平均が$0$の場合は定義できません。
統計学入門の以降のページにもほぼ登場していないようです。
とはいえ、時系列データなどを扱う時、時代によって平均値が大きく変わってしまった場合の散らばりの比較などには
使えそうなので覚えておこうと思います。