前回の記事でモーメント母関数を紹介しましたので、具体的に一つ導出してみようと思います。
例に取り上げるのは一番重要な確率分布である正規分布です。
(難易度も易しすぎず難しすぎずで、しばらく手を動かして積分計算するような作業をやってない自分には良いリハビリでした。)
期待値$\mu$,分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数は、次の式です。
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.
$$
これをモーメント母関数の定義式に代入して計算していきましょう。
$$
\begin{align}
M_X(t) &= E\left[e^{tX}\right]\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx}dx.
\end{align}
$$
ここで積分の中の指数関数の指数部に着目します。
$$
\begin{align}
指数部 &= -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}+tx\\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\{x^2-2\mu x+\mu^2-2\sigma^2tx\}\\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\{x^2-2(\mu+\sigma^2t)x+(\mu+\sigma^2t)^2-(\mu+\sigma^2t)^2+\mu^2\}\\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\{(x-(\mu+\sigma^2t))^2-(\mu+\sigma^2t)^2+\mu^2\}\\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\{(x-(\mu+\sigma^2t))^2-2\mu\sigma^2t-\sigma^4t^2\}\\
&= -\frac{1}{2\sigma^2}\{(x-(\mu+\sigma^2t))^2\}+\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2.
\end{align}
$$
平方完成なんて久しぶりにやったので少し丁寧に書きましたが、計算するとこのように整理できます。
こちらを元の式に代入します。
$$
\begin{align}
M_X(t) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2}+\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2}dx\\
&= e^{\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2}}dx.
\end{align}
$$
ここで、積分の中にある次の部分に着目します。
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2}}.
$$
実はこれ、期待値$\mu+\sigma^2t$、分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数に等しく、区間$[-\infty,\infty]$で積分すると$1$になります。
したがって、正規分布のモーメント母関数は次のように書けることが証明できました。
$$
M_X(t) = e^{\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2}.
$$